FIGURAS EN 2D PERÍMETRO Y ÁREA DEL CUADRADO figuras de 2d PERÍMETRO   El perímetro de un cuadrado es cuatro veces el valor del lado     P = 4 · a ÁREA El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitud del lado.   A= a2 PERÍMETRO Y ÁREA DEL RECTÁNGULO PERÍMETRO El rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, por tanto: P = 2· a + 2· b ÁREA El área de un rectángulo es el producto de la longitud de los lados. A= a · b Ejercicios 1.- Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 4 m. 2.- La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro. 3.- El área de un cuadrado es 5,76 cm2. Calcula el perímetro del cuadrado.

El paralelogramo de la derecha tiene la misma área que el rectángulo que tiene debajo. Mueve el punto que se indica. Por tanto el área del paralelogramo es el mismo que el del rectángulo. A = b · a Siendo b  un lado y a  la altura. PARALELOGRAMO PERÍMETRO Y ÁREA DE UN PARALELOGRAMO. PERÍMETRO P = 2· b + 2· c = = 2 (b + c) ÁREA El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura.

Ejercicio

La base de un paralelogramo es 5 cm, y su altura es 2,8 cm. ¿Cuál es el área del paralelogramo? Con los datos anteriores (base y altura), ¿se puede calcular el perímetro? Toma las medidas que necesites utilizando el segmento auxiliar para determinar el perímetro.

El rombo es un paralelogramo (que tiene los cuatro lados iguales) por tanto su perímetro y área pueden calcularse como los de un paralelogramo. La expresión más habitual es en función del valor de sus diagonales, que como sabes, son perpendiculares en un rombo. El rombo de la figura (amarillo) tiene área la mitad del rectángulo. Mueve los vértices para comprobar que siempre es así. Los lados del rectángulo son las diagonales del rombo. Por tanto el área del rombo es : D y d son los valores de las diagonales. PERÍMETRO Y ÁREA DE UN ROMBO ÁREA El área del rombo es igual al producto de diagonales dividido entre dos. PERÍMETRO El perímetro del rombo es cuatro veces el valor del lado. P = 4· L El valor de las diagonales y el lado, están relacionados. El triángulo de color es rectángulo, aplicando el teorema de Pitágoras: Como sabes el cuadrado es un caso particular de rombo. Es un rombo que tiene las diagonales iguales. Para calcular el área del cuadrado puedes utilizar también la expresión del área del rombo. Comprueba en la figura que estas expresiones dan el mismo valor. EJERCICIOS 1.- La diagonal mayor de un rombo mide 5m, y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro del rombo. Debes de utilizar el teorema de Pitágoras. 2.- Calcula el área de un cuadrado de 4 m. de diagonal. a) Utilizando el teorema de Pitágoras para determinar el lado. b) Utilizando la expresión A = D · d / 2

Recuerda que el trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos, que se llaman bases y otros dos no paralelos. La figura de la derecha representa un trapecio. El trapecio que aparece tiene igual área y entre los dos son un paralelogramo de base B + b y de altura a. Por tanto el área del trapecio es: ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRAPECIO ÁREA El área del trapecio es igual a la semisuma de las bases por la altura. PERÍMETRO Para calcular el perímetro de un trapecio cualquiera se suma el valor de los cuatro lados. TRAPECIO ISÓSCELES Y TRAPECIO RECTÁNGULO Tanto en el trapecio isósceles como en el rectángulo podemos aplicar el Teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos que se representan. Se obtiene una relación entre B, b, L y a. Podemos calcular uno cualquiera de estos valores conociendo los restantes.

Podemos deducir la expresión del área de un triángulo a partir del área de un paralelogramo. El área del triángulo ABC es la mitad de la del paralelogramo ABCD de base b y altura a. Por tanto el área del triángulo es ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO PERÍMETRO Suma de sus lados P= b + c + d ÁREA El área de un triángulo es el producto de uno de sus lados por la altura sobre él dividido entre dos.

ÁREA Y PERÍMETRO DE POLÍGONO REGULAR

Un polígono regular de N lados se puede dividir en N  triángulos isósceles. El área del polígono regular es por tanto : A Polígono Regular = N · A Triángulo , esto es El Perímetro  es la longitud de un lado por el número de lados. P = N · L
	L= lado del polígono regular =        = base del triángulo a= apotema del polígono regular=     = altura del triángulo

Para determinar el área de un polígono regular, necesitamos conocer el lado y el apotema. Si uno de ellos no se conoce  y sí el radio,  debe usarse el Teorema de Pitágoras. Se llama   Π= Pi al valor del cociente de la longitud de una circunferencia entre su diámetro. Su valor aproximado es 3,14. En realidad Π tiene infinitos decimales. El número Π aparece en todas las expresiones relativas a circunferencia, círculos, así como en figuras espaciales que contengan circunferencias. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA La Longitud de una circunferencia es igual al valor de su diámetro multiplicado por Π. ÁREA DEL CÍRCULO El área de un circulo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por Π. L= D · Π= 2 · Π · R A= Π·R2 LONGITUD DE UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR L= 2·Π ·R· n/ 360 CORONA CIRCULAR. El Perímetro de la Corona es la suma del de las dos circunferencias. L = 2·Π·R+2·Π·r = 2·Π(R+r) El área de la corona circular, es el área del círculo grande menos el área del círculo pequeño. Acorona = Π·R2 - Π· r2 = Π(R2-r2)

FIGURAS 3D

INTRODUCCIÓN

Vamos a calcular áreas y volúmenes de las figuras geométricas más importantes, como son: prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas.

PRISMAS
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras que son polígonos iguales y paralelos entre sí (bases) y el resto de caras son paralelogramos (caras laterales).La altura del prisma es la distancia entre las bases.


A=ALateral+2ABase=PBaseh+2ABase
PIRAMIDE

Es un poliedro con una cara (llamada "base") que es un polígono, y todos los demás lados triangulares que se unen en un punto en común (conocido como el "ápice").



A=ABase+ALateral=ABase+PBasea2



CILINDRO
Un cilindro es una superficie formada por rectas paralelas, cada una de las cuales contiene un solo punto de una curva plana denominada directriz del cilindro. Cada una de las rectas paralelas se denomina generatriz.


A=ALateral+2ABase=2πr(h+r)



CONOS
Un cono es un cuerpo de revolución, es decir, es un cuerpo geométrico que se obtiene al girar una figura plana alrededor de una recta (eje de giro).
Se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Su desarrollo plano consta de un círculo (base) y un sector circular.


A=ALateral+ABase=πr(g+r)




ESFERAS

La esfera, al igual que los conos y los cilindros, son cuerpos de revolución.
Se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. La esfera no tiene desarrollo plano.


A=4πr2

Perímetro, área, y volumen

1. El perímetro de un polígono (o cualquier otra curva cerrada, tal como un círculo) es la distancia alrededor del exterior.

2. El área de una curva simple, cerrada, plana es la cantidad del espacio interior.

3. El volumen de un sólido de forma 3D es la cantidad del espacio desplazado por él.

Algunas fórmulas para figuras planas comunes de 2 dimensiones y sólidos de 3 dimensiones se dan a continuación. Las respuestas tienen una, dos, o tres dimensiones; el perímetro es medido en unidades lineales, el área es medido en unidades cuadradas, y el volumen es medido en unidades cúbicas.

Tabla 1. Fórmulas de perímetros
Forma	Fórmula	Variables
Cuadrado	P = 4s	s es la longitud del lado del cuadrado.
Rectángulo	P = 2L + 2W	L y W son las longitudes de los lados del rectángulo (longitud y ancho).
Triángulo	a + b + c	a, b, y c son las longitudes de los lados.
Triángulo rectángulo, con catetos a y b(ver el teorema de Pitágoras)		a y b son las longitudes de los catetos del triángulo
Círculo	P = C = 2πr = πd	r es el radio y d es el diámetro.

Tabla 2. Fórmulas de áreas
Forma	Fórmula	Variables
Cuadrado	A = s2	s es la longitud del lado del cuadrado.
Rectángulo	A = LW	L y W son las longitudes de los lados del rectángulo (longitud y ancho).
Triángulo		b y h son la base y la altura.
Triángulo		a, b, y c son las longitudes de los lados y s es el semiperímetro
Paralelogramo	A = bh	b es la longitud de la base y h es la altura.
Trapezoide		b1 y b2 son las longitudes de los lados paralelos y h la distancia (altura) entre las paralelas.
Círculo	A = πr2	r es el radio.

Tabla 3. Fórmulas de volumen
Forma	Fórmula	Variables
Cubo	V = s3	s es la longitud del lado.
Prisma rectangular recto	V = LWH	L es la longitud, W es el ancho yH es la altura.
Prisma o cilindro	V = Ah	A es el área de la base, h es la altura.
Pirámide o cono		A es el área de la base, h es la altura.
Esfera		r es el radio.